餘弦娘

 本文介紹的是餘弦函數的擬人化萌娘。

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餘弦娘
《WIXOSS》中的餘弦擬人 畫師：コウサク
性質
奇偶性	偶
單調性	$[2k\pi, (2k + 1)\pi]$上單調遞減，$[(2k - 1)\pi, 2k\pi]$上單調遞增
定義域	$\mathbb C$
值域	$[-1, 1]$，定義域為$\mathbb R$時 $\mathbb C$，定義域為$\mathbb C$時
最小正周期	$2\pi$
特殊點
$f(0)$	$(0, 1)$
最大值	$(2k\pi, 1)$
最小值	$(\pi + 2k\pi, -1)$
零點	$(-\cfrac{\pi}{2} + k\pi, 0)$
不動點	$(0.7391\cdots, 0.7391\cdots)$
以上所有$k \in \mathbb Z$

餘弦娘（英語:cosine，符號：$\cos$）是餘弦函數的擬人化萌娘。是三角函數姐妹大家族中的一隻萌娘。

發現歷史

幾千年前的古代數學家們是在和三角形娘玩耍時首次遇到餘弦娘的：取一隻直角三角形娘$\mathrm {Rt}\triangle ABC$，其中$\angle B = 90^\circ$。則讓其中的邊$AC$與$AB$百合，$AC$在上，$AB$在下，就可以得到餘弦娘$\cos A$了。那時候的餘弦娘並沒有名字，但她幫助古代數學家們解決了不少數學問題，例如計算一座埃及金字塔的坡度，或是計算太陽升起的角度等。

後來的數學家們發現，餘弦娘並不是一直依附於三角形娘而存在，而是有一隻銳角娘就可以了。銳角娘越大，對應的餘弦娘就越小。隨著餘弦娘出沒的次數增加，瑞士數學家歐拉最早將她命名為「$\cos$」（源自拉丁文COMPLÉMENTÍ SINVS，意為"sine of complement"）。

之後在研究複數娘的時候，數學家們發現任意角娘都可以對應一隻餘弦娘。在平面直角坐標娘$xOy$中，對於以坐標原點為頂點，$x$軸正半軸為始邊的角娘$\alpha$，取終邊上的一個點娘$P(x,y)$。如果P到坐標原點的距離為$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，則令$x$與$r$百合，$x$在上，$r$在下，便可得到一隻角$\alpha$的餘弦娘。

個人特徵與萌點

1. 如果把餘弦娘$\cos x$百合的體位倒過來的話，就會變成正割娘$\sec x$。

2. 餘弦娘$\cos x$和姐姐正弦娘$\sin x$平常經常會拌嘴，餘弦娘希望角娘$x$在0到$\pi / 4$之間，這樣她就可以比姐姐正弦娘$\sin x$更高了。不過真的碰上敵人的時候，她們會和平方娘合作，合體成穩定的自然數娘1（$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$）。

3. 除了姐姐正弦娘$\sin x$，餘弦娘還有一個孿生妹妹雙曲餘弦娘$\cosh x$，在復變空間內，$\cosh z = \cos(\mathrm{i}z)$，三角函數娘的相互變換就是這麼無厘頭。

4. 大部分時候，餘弦娘$\cos x$並不是一隻有理數娘。為了測定她的身高，數學家萊布尼茨發現了一隻和她長得一樣高的級數娘$\cos x = 1−\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}−\frac{x^{6}}{6!}+\cdots$。從此之後，每一隻角娘對應餘弦娘的身高都可以很容易的計算了。在實變空間內，餘弦娘身高的絕對值總是不超過1，換而言之，餘弦娘的身高在[-1,1]範圍內。但是如果餘弦娘跑到了復變空間，這個身高的限制便不復存在。

5. 很久之後，另一位數學家傅立葉發現對任何偶函數娘$f(x)$，我們都可以找到很多不同餘弦娘$a_{n}\cos(nx)$，將她們加起來成為一個級數娘$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nx)$後，身高和這隻偶函數娘在任意點都一樣。這個級數娘被稱為傅立葉餘弦級數娘，她可以幫助我們解決很多數學分析娘的問題。

6. 餘弦娘很喜歡cosplay餘弦玩。

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