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餘弦娘

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餘弦娘
WD20-012.png

WIXOSS》中的餘弦擬人
畫師:コウサク
性質
奇偶性
單調性
$[2k\pi, (2k + 1)\pi]$上單調遞減,$[(2k - 1)\pi, 2k\pi]$上單調遞增
定義域
$\mathbb C$
值域
$[-1, 1]$,定義域為$\mathbb R$時
$\mathbb C$,定義域為$\mathbb C$時
最小正周期
$2\pi$
特殊點
$f(0)$
$(0, 1)$
最大值
$(2k\pi, 1)$
最小值
$(\pi + 2k\pi, -1)$
零點
$(-\cfrac{\pi}{2} + k\pi, 0)$
不動點
$(0.7391\cdots, 0.7391\cdots)$
以上所有$k \in \mathbb Z$
餘弦娘(英語:cosine,符號:$\cos$)是餘弦函數擬人化萌娘。是三角函數姐妹大家族中的一隻萌娘。

發現歷史

幾千年前的古代數學家們是在和三角形娘玩耍時首次遇到餘弦娘的:取一隻直角三角形娘$\mathrm {Rt}\triangle ABC$,其中$\angle B = 90^\circ$。則讓其中的邊$AC$與$AB$百合,$AC$在上,$AB$在下,就可以得到餘弦娘$\cos A$了。那時候的餘弦娘並沒有名字,但她幫助古代數學家們解決了不少數學問題,例如計算一座埃及金字塔的坡度,或是計算太陽升起的角度等。

後來的數學家們發現,餘弦娘並不是一直依附於三角形娘而存在,而是有一隻銳角娘就可以了。銳角娘越大,對應的餘弦娘就越小。隨着餘弦娘出沒的次數增加,瑞士數學家歐拉最早將她命名為「$\cos$」(源自拉丁文COMPLÉMENTÍ SINVS,意為"sine of complement"[1])。

之後在研究複數娘的時候,數學家們發現任意角娘都可以對應一隻餘弦娘。在平面直角坐標娘$xOy$中,對於以坐標原點為頂點,$x$軸正半軸為始邊的角娘$\alpha$,取終邊上的一個點娘$P(x,y)$。如果P到坐標原點的距離為$r = \sqrt{x^2 + y^2}$,則令$x$與$r$百合,$x$在上,$r$在下,便可得到一隻角$\alpha$的餘弦娘。

個人特徵與萌點

1. 如果把餘弦娘$\cos x$百合的體位倒過來的話,就會變成正割娘$\sec x$。

2. 餘弦娘$\cos x$和姐姐正弦娘$\sin x$平常經常會拌嘴,餘弦娘希望角娘$x$在0到$\pi / 4$之間,這樣她就可以比姐姐正弦娘$\sin x$更高了。不過真的碰上敵人的時候,她們會和平方娘合作,合體成穩定的自然數娘1($\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$)。

3. 除了姐姐正弦娘$\sin x$,餘弦娘還有一個孿生妹妹雙曲餘弦娘$\cosh x$,在復變空間內,$\cosh z = \cos(\mathrm{i}z)$,三角函數娘的相互變換就是這麼無厘頭。

4. 大部分時候,餘弦娘$\cos x$並不是一隻有理數娘。為了測定她的身高,數學家萊布尼茨發現了一隻和她長得一樣高的級數娘$\cos x = 1−\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}−\frac{x^{6}}{6!}+\cdots$。從此之後,每一隻角娘對應餘弦娘的身高都可以很容易的計算了。在實變空間內,餘弦娘身高的絕對值總是不超過1,換而言之,餘弦娘的身高在[-1,1]範圍內。但是如果餘弦娘跑到了復變空間,這個身高的限制便不復存在。

5. 很久之後,另一位數學家傅立葉發現對任何偶函數娘$f(x)$,我們都可以找到很多不同餘弦娘$a_{n}\cos(nx)$,將她們加起來成為一個級數娘$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nx)$後,身高和這隻偶函數娘在任意點都一樣。這個級數娘被稱為傅立葉餘弦級數娘,她可以幫助我們解決很多數學分析娘的問題。

6. 餘弦娘很喜歡cosplay餘弦玩

相關定理娘

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註釋與外部連結