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正弦娘
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| 正弦娘 | ||
 畫師：コウサク | ||
| 性質 | ||
| 奇偶性 | 奇
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| 單調性 | $\left[2k\pi - \cfrac {\pi}{2}, 2k\pi + \cfrac {\pi}{2}\right]$上單調遞增，$\left[2k\pi + \cfrac {\pi}{2}, 2k\pi + \cfrac {3\pi}{2}\right]$上單調遞減
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| 定義域 | $\mathbb C$
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| 值域 | $[-1, 1]$，定義域為$\mathbb R$時
$\mathbb C$，定義域為$\mathbb C$時 | |
| 最小正周期 | $2\pi$
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| 特殊點 | ||
$f(0)$ |
$(0, 0)$
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| 最大值 | $\left(2k\pi + \cfrac {\pi}{2}, 1\right)$
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| 最小值 | $\left(2k\pi - \cfrac {\pi}{2}, -1\right)$
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| 零點 | $(k\pi, 0)$
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| 不動點 | $(0, 0)$
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以上所有$k \in \mathbb Z$
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正弦娘（英語：sine，符號：$\sin$）是正弦函數的擬人化萌娘，屬於三角函數大家族。
正弦娘的介紹
早期發現
幾千年前的古代數學家們是在和三角形娘玩耍時首次遇到正弦娘的：取一隻直角三角形娘$\mathrm {Rt}\triangle ABC$，其中$\angle B = 90^\circ$。讓斜邊$AC$與對邊$BC$百合，$BC$在上，$AC$在下，就可以得到正弦娘$\sin A$了。那時候的正弦娘並沒有名字，但她幫助古人解決了不少生產生活中的實際問題，例如計算航海路線等[1]。後來的數學家們發現，正弦娘並不是一直依附於三角形娘而存在，而是有一隻銳角娘就可以了。銳角娘越大，對應的正弦娘就越大。
初獲芳名
現代尋蹤
在平面直角坐标娘$xOy$中，对于以坐标原点$O$为顶点，$x$轴正半轴为始边的角娘$\alpha$，取终边上的一个点娘$P(x,y)$，$P$到坐标原点的距离$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，令$y$与$r$百合，$y$在上，$r$在下，便可得到角$\alpha$的正弦娘。
之后在研究复数娘的时候，数学家们发现任意复数娘$z$都可以对应一只正弦娘$\sin z = \cfrac {e^{\rm{i} z}-e^{-\rm{i} z}}{2\rm{i}}$；而对于实数娘$x$，对应的正弦娘还可以显现这般模样$\sin x = \operatorname{Im}(e^{\rm{i} x})$.
個人特徵與萌點
身高
- 在實變空間內，正弦娘身高的絕對值總是不超過$1$，換而言之，正弦娘的身高在$[-1,1]$範圍內；角娘$x$在第一、二象限時，正弦娘$\sin x$的身高為正值；角娘$x$在第三、四象限時，正弦娘$\sin x$的身高為負值。
- 但是当正弦娘跑到了复变空间，这个身高的限制便不复存在了。设$x,y \in \mathbb R, z = x+\rm{i}y \in \mathbb C$，有$\sin z = \sin (x + \rm{i} y) = \sin x \cos(\rm{i} y) + \cos x \sin(\rm{i} y) = \sin x \cosh y + \rm{i} \cos x \sinh y$。这时候，正弦娘的身高在现实世界的投影$\operatorname{Re}(\sin z) = \sin x \cosh y$，在虚拟世界的投影$\operatorname{Im}(\sin z) = \cos x \sinh y$，不再受到限制。
喜歡在意的人
- 住在三角學領域的時候，正弦娘喜歡跟面積娘在一起；住在向量分析領域的時候，正弦娘喜歡跟外積娘（又名「叉積娘」、「向量積娘」）在一起。
- 除了妹妹餘弦娘$\cos x$，正弦娘還有一個孿生妹妹雙曲正弦娘$\sinh x$，在復變空間內，$\sinh z = -\rm{i}\sin(\rm{i} z)$，三角函數娘的相互變換就是這麼無厘頭。
三角學領域
- 如果把正弦娘$\sin x$百合的體位倒過來的話，就會變成餘割娘$\csc x$。
- 正弦娘$\sin x$和妹妹餘弦娘$\cos x$平常經常會拌嘴，餘弦娘希望角娘$x$在$0$到$\cfrac {\pi}{4}$之間，這樣她就可以比姐姐正弦娘$\sin x$更高了。不過真的碰上敵人的時候，她們會和平方娘合作，合體成穩定的自然數娘$1$（$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$）。
- 三角函數大家族裏，以正弦娘為首的姐妹和她們的余函數姐妹們會在合適的條件下變換成不一樣的自己或者姐妹的模樣，於是熟悉三角函數大家族的地球Online術士們把她們變化的規律總結成誘導公式，並歸納成一句口訣「奇變偶不變，符號看象限」。從此，一個了解三角函數姐妹的穿越者，不管他來到哪個異世界，不管命運把他拋到哪個時空，不管他怎樣感到自己是現代地球人，世界觀不通，舉目無親，遠離自己原本的位面，——他都可以憑口訣熟悉的語調，給自己找到同志和朋友。[4]
- 以正弦娘為代表的三角函數姐妹們有一系列關聯萌點，稱為「三角恆等式」，除了上面的倒數關係、平方關係、誘導公式，還有商關係、和差角公式、倍角公式、半角公式、輔助角公式、萬能公式、和差化積公式、積化和差公式、降冪公式、平方差公式、棣莫弗公式等等。
- 姐妹倆獨處的一些時候，正弦娘會擺出一副詢問的樣子對着餘弦娘：「今晚我們是tan，還是cot？」
分析學領域
- 在弧度制模式下，正弦娘和她對應的數娘跟班跑回原點家裏時候的速度是一樣的，也就是說，在回家的路上，她們是等價無窮小。這也解釋了為什麼正弦娘在遇到微分算子時，會變換成餘弦娘的模樣。至於為什麼一定要是在弧度制下？正弦娘擺了擺手：「你自己摸索去吧！」
- 如果一列等差的正弦娘手挽手坐成一排，那麼可以輕鬆把她們歸攏到一起，也就是$$\sum\limits_{k=0}^n \sin (a+2kd) = \sin a + \sin (a+2d) + \sin (a+4d) + \cdots + \sin (a+2nd) = \cfrac{\sin (a+nd)\sin [(n+1)d]}{\sin d}$$至於要怎麼發現這個萌點，傲嬌的正弦娘除了「裂項」兩個字之外，什麼都不告訴你。
- 大部分時候，正弦娘$\sin x$並不是一隻有理數娘。為了測定她的身高，數學家萊布尼茨發現了一隻和她長得一樣高的級數娘$\sin x = x−\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}−\frac{x^{7}}{7!}+\cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$。從此之後，每一隻角娘對應正弦娘的身高都可以很容易的計算了。
- 很久之後，另一位數學家傅立葉發現對任何奇函數娘$f(x)$，我們都可以找到很多不同正弦娘$a_{n}\sin(nx)$，把她們加起來成為一個級數娘$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\sin(nx)$後，身高和這隻奇函數娘在任意點都一樣。這個級數娘被稱為傅立葉正弦級數娘，她可以幫助我們解決很多數學分析娘的問題。
相關定理娘
正弦定理姐妹
- 主條目：正弦定理娘
- 正弦定理姐妹不僅跟正弦娘關係匪淺，而且跟三角形$ABC$的三個角娘$A, B, C$和三個邊娘$a, b, c$都是親戚。正弦定理姐妹外貌相似，但根據居住地點的不同也會有微妙的差異。
- 住在平面幾何領域的正弦定理娘，一言以蔽之$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
三正弦定理娘
- 住在立體幾何領域。
畫廊
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